Nếu tính 6 tháng đầu năm:

3 năm = 365 × 3 = 1095 ngày

6 tháng = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 181 ngày

1095 - 181 = 914 ngày

Đáp án: 914 ngày

Hệ Mặt Trời hiện có 5 hành tinh lùn

Bài 4

1. Chứng minh √6 là số vô tỉ

Giả sử √6 là số hữu tỉ

√6 = a/b (a,b ∈ Z, b ≠ 0, (a,b) = 1)

⇒ a^2 = 6b^2

⇒ a^2 chia hết cho 2 và 3

⇒ a chia hết cho 2 và 3

⇒ a chia hết cho 6

Đặt a = 6k

⇒ b^2 = 6k^2

⇒ b^2 chia hết cho 2 và 3

⇒ b chia hết cho 2 và 3

⇒ b chia hết cho 6

Mâu thuẫn với (a,b) = 1

Vậy √6 là số vô tỉ

1. Chứng minh √3 + √7 là số vô tỉ

Giả sử √3 + √7 là số hữu tỉ, đặt √3 + √7 = a

⇒ √7 = a - √3

⇒ 7 = a^2 - 2a√3 + 3

⇒ 2a√3 = a^2 - 4

⇒ √3 = (a^2 - 4)/(2a)

Suy ra √3 là số hữu tỉ, mâu thuẫn

Vậy √3 + √7 là số vô tỉ

1. Chứng minh √(2/5) là số vô tỉ

Giả sử √(2/5) là số hữu tỉ

√(2/5) = a/b (a,b ∈ Z, b ≠ 0, (a,b) = 1)

⇒ 2b^2 = 5a^2

⇒ 5 chia hết cho b

Đặt b = 5k

⇒ a^2 = 10k^2

⇒ 5 chia hết cho a

Vậy a và b cùng chia hết cho 5, mâu thuẫn với (a,b) = 1

Vậy √(2/5) là số vô tỉ

1. Chứng minh √3 + √5 là số vô tỉ

Giả sử √3 + √5 là số hữu tỉ, đặt √3 + √5 = a

⇒ √5 = a - √3

⇒ 5 = a^2 - 2a√3 + 3

⇒ 2a√3 = a^2 - 2

⇒ √3 = (a^2 - 2)/(2a)

Suy ra √3 là số hữu tỉ, mâu thuẫn

Vậy √3 + √5 là số vô tỉ

Bài 5

Ta có:

\(p^n + q^(2n) = r²\)

\(⇒ r² - q^(2n) = p^n\)\(⇒ (r - q^n)(r + q^n) = p^n\)

Nếu q là số nguyên tố lẻ thì \(q^{(2n)}\)lẻ

Nếu p lẻ thì \(r²\) chẵn \(⇒ r = 2\), vô lý vì \(q^{(2n)}\ge9\)

Nếu \(p = 2\) thì cũng vô lý

Vậy \(q = 2\)

Khi đó:

\(p^{n}+2^{(2n)}=r^2\)

\(⇒ (r - 2^n)(r + 2^n) = p^n\)

Suy ra p là số nguyên tố lẻ và:

r - 2^n = 1

\(r + 2^n = p^n\)

\(\Rightarrow p^{n}-1=2^{\left(n+1\right)}\)

Xét \(n = 1:\)

\(p - 1 = 4\)

\(⇒ p = 5\)

\(r = 3\)

\(⇒ (p,q,r,n) = (5,2,3,1)\)

Xét \(n > 1\)

Nếu n lẻ:

\(p^n - 1 = (p - 1)(p^(n-1) + ... + p + 1)\)

Mà thừa số thứ hai là số lẻ lớn hơn 1, trái với p^n - 1 là lũy thừa của 2

Vậy n chẵn

Đặt \(n = 2k:\)

\(p^{(2k)}-1=2^{(}2k+1)\)

\(⇒ (p^k - 1)(p^k + 1) = 2^(2k+1)\)

Hai thừa số hơn kém nhau 2 nên:

\(p^k - 1 = 2\)

\(p^k + 1 = 4\)

\(⇒ p^k = 3\)

\(⇒ p = 3, k = 1\)

\(⇒ n = 2\)

\(⇒ r = 5\)

Vậy tất cả nghiệm là:

\((p,q,r,n) = (5,2,3,1)\)

hoặc

\((p,q,r,n) = (3,2,5,2)\)

= 6^2006(6 - 1) : 6^2006

= 5

2, (5^2001 - 5^2000) : 5^2000

= 5^2000(5 - 1) : 5^2000

= 4

hmm

Làng quê

Sửa lại

Bài 3

Ta có:

2x + 3y + 4 = n²

⇒ 2x = n² - 3y - 4

⇒ x = (n² - 3y - 4)/2

Vì x > 0, y > 0 nên:

n ≥ 3

1 ≤ y ≤ (n² - 6)/3

Để x là số nguyên thì n và y phải cùng tính chẵn lẻ.

Vậy tất cả nghiệm là:

(x,y) = ((n² - 3y - 4)/2, y)

với n ≥ 3, y ≥ 1, y ≤ (n² - 6)/3 và n, y cùng tính chẵn lẻ.

Bài 4

Ta có:

2x + 5y + 4 = n²

⇒ 2x = n² - 5y - 4

\(⇒ x = (n² - 5y - 4)/2\)

Vì x, y là số tự nhiên nên:

n ≥ 2

0 ≤ y ≤ (n² - 4)/5

Để x là số nguyên thì n và y phải cùng tính chẵn lẻ.

Vậy tất cả nghiệm là:

(x,y) = ((n² - 5y - 4)/2, y)

với n ≥ 2, y ≥ 0, y ≤ (n² - 4)/5 và n, y cùng tính chẵn lẻ.

Bài 3

Ta có:

\(2x + 3y + 4\) là số chính phương

Đặt:

\(2x + 3y + 4 = n²\)

Suy ra:

\(2x + 3y = n² - 4\)

\(2x = n² - 3y - 4\)

\(x=\frac{(n^2-3y-4)}{2}\)

Vì x, y là số tự nhiên nên:

\(n² - 3y - 4 ≥ 0\)

Vậy:

\(x=\frac{(n^2-3y-4)}{2}\)

Bài 4

Ta có:

\(2x + 5y + 4\) là số chính phương

Đặt:

\(2x + 5y + 4 = n²\)

Suy ra:

\(2x + 5y = n² - 4\)

\(2x = n² - 5y - 4\)

\(x=\frac{(n^2-5y-4)}{2}\)

Vì x, y là số tự nhiên nên:

\(n² - 5y - 4 ≥ 0\)

Vậy:

\(x=\frac{(n^2-5y-4)}{2}\)

K = (4^5 × 9^4 - 2 × 6^9) / (2^10 × 3^8 + 2^8 × 3^8 × 20)

= (2^10 × 3^8 - 2 × 2^9 × 3^9) / (2^10 × 3^8 + 2^8 × 3^8 × 20)

= (2^10 × 3^8 - 2^10 × 3^9) / (2^10 × 3^8 + 2^8 × 3^8 × 20)

= [2^10 × 3^8(1 - 3)] / [2^8 × 3^8(4 + 20)]

= (-2 × 2^10 × 3^8) / (24 × 2^8 × 3^8)

= -8/24

= -1/3

Vậy K = -1/3

Ta có:

G = (3^6 × 45^4 − 15^13 : 5^9) / (27^4 × 25^3 + 45^6)

= (3^14 × 5^4 − 3^13 × 5^4) / (3^12 × 5^6 + 3^12 × 5^6)

= [3^13 × 5^4 × (3 − 1)] / [2 × 3^12 × 5^6]

= 3 / 5^2

= 3/25

Vậy G = 3/25