sai rồi đó là cơn ác mộng ,bởi vì mẹ tui bắt tui học liên tục còn bài thì nhiều không đếm xuể

Để giải bài toán này, chúng ta cần đếm số các số tự nhiên có 4 chữ số \(\overset{\overline}{a b c d}\) sao cho \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\).

Trước hết, ta cần xác định miền giá trị của các chữ số:

• \(a\) là chữ số hàng nghìn, nên \(a \in \left{\right. 1 , 2 , \ldots , 9 \left.\right}\).
• \(b , c , d\) là các chữ số, nên \(b , c , d \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 9 \left.\right}\).

Số \(\overset{\overline}{a b}\) là một số có hai chữ số, nên \(\overset{\overline}{a b} \in \left{\right. 10 , 11 , \ldots , 99 \left.\right}\).

Số \(\overset{\overline}{c d}\) là một số có hai chữ số, nên \(\overset{\overline}{c d} \in \left{\right. 00 , 01 , \ldots , 99 \left.\right}\).

Chúng ta có điều kiện \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\).

Ta sẽ xem xét hai trường hợp cho \(\overset{\overline}{c d}\):

Trường hợp 1: \(\overset{\overline}{c d}\) là số có hai chữ số (tức là \(c \neq 0\))

Trong trường hợp này, \(\overset{\overline}{c d} \in \left{\right. 10 , 11 , \ldots , 99 \left.\right}\).

• Số các giá trị có thể có của \(\overset{\overline}{a b}\) là từ 10 đến 99, tức là $99 - 10 + 1 = 90$ giá trị.
• Số các giá trị có thể có của \(\overset{\overline}{c d}\) là từ 10 đến 99, tức là $99 - 10 + 1 = 90$ giá trị.

Với mỗi cặp \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) thỏa mãn \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\), ta có thể ghép chúng lại để tạo thành số \(\overset{\overline}{a b c d}\).

Tuy nhiên, cách tiếp cận này phức tạp vì sự phụ thuộc giữa \(\overset{\overline}{a b}\) và \(\overset{\overline}{c d}\).

Cách tiếp cận tốt hơn:

Chúng ta đếm tổng số các bộ \(\left(\right. a , b , c , d \left.\right)\) thỏa mãn điều kiện.

Số \(\overset{\overline}{a b}\) có thể nhận các giá trị từ 10 đến 99. Có $99 - 10 + 1 = 90\(g i \overset{ˊ}{a} t r ị . S \overset{ˊ}{\hat{o}}\)\overline{cd} có thể nhận các giá trị từ 00 đến 99. Có \99 - 00 + 1 = 100$ giá trị.

Chúng ta cần đếm số các cặp số \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) sao cho \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\), với điều kiện \(\overset{\overline}{a b}\) là số có hai chữ số (\(a \neq 0\)).

Hãy xem xét tất cả các cặp số có hai chữ số \(\left(\right. X , Y \left.\right)\) sao cho \(X < Y\).

Ở đây, \(X\) có thể là số từ 00 đến 99, và \(Y\) cũng có thể là số từ 00 đến 99.

Tổng cộng có $100 \times 100 = 10000\(c ặ p\)(X, Y)\(v ớ i\)X, Y \in {00, 01, \dots, 99}$.

Trong số 10000 cặp này:

• Số cặp \(X < Y\).
• Số cặp \(X > Y\).
• Số cặp \(X = Y\).

Số cặp \(X = Y\) là 100 (00=00, 01=01, ..., 99=99).

Do tính đối xứng, số cặp \(X < Y\) bằng số cặp \(X > Y\).

Do đó, số cặp \(X < Y\) = (10000 - 100) / 2 = 9900 / 2 = 4950.

Bây giờ, chúng ta phải quay lại điều kiện của bài toán: \(a \neq 0\), tức là \(\overset{\overline}{a b}\) phải là số có hai chữ số (từ 10 đến 99).

Chúng ta cần đếm số các cặp \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) sao cho $10 \le \overline{ab} \le 99 và \0 \le \overline{cd} \le 99\(, v \overset{ˋ}{a}\)\overline{ab} < \overline{cd}$.

Ta sẽ đếm tổng số các bộ \(\left(\right. a , b , c , d \left.\right)\) với \(a \in \left{\right. 1 , \ldots , 9 \left.\right}\) và \(b , c , d \in \left{\right. 0 , \ldots , 9 \left.\right}\) thỏa mãn \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\).

Xét từng giá trị của \(\overset{\overline}{a b}\) (từ 10 đến 99):

• Nếu \(\overset{\overline}{a b} = 10\), ta cần $10 < \overline{cd}\(.\)\overline{cd} có thể là từ 11 đến 99. Số lượng là \99 - 11 + 1 = 89$.
• Nếu \(\overset{\overline}{a b} = 11\), ta cần $11 < \overline{cd}\(.\)\overline{cd} có thể là từ 12 đến 99. Số lượng là \99 - 12 + 1 = 88$.
• ...
• Nếu \(\overset{\overline}{a b} = 98\), ta cần $98 < \overline{cd}\(.\)\overline{cd}$ có thể là 99. Số lượng là 1.
• Nếu \(\overset{\overline}{a b} = 99\), ta cần $99 < \overline{cd}\(. K h \hat{o} n g c \overset{ˊ}{o} g i \overset{ˊ}{a} t r ị\)\overline{cd}$ nào thỏa mãn. Số lượng là 0.

Tổng số các số thỏa mãn là:

$89 + 88 + 87 + \dots + 1 + 0\(. Đ \hat{a} y l \overset{ˋ}{a} t ổ n g c ủ a m ộ t c \overset{ˊ}{\hat{a}} p s \overset{ˊ}{\hat{o}} c ộ n g . T ổ n g n \overset{ˋ}{a} y b \overset{ˋ}{\overset{ }{a}} n g :\)\frac{(89 + 0) \times 90}{2} = \frac{89 \times 90}{2} = 89 \times 45$.

$89 \times 45 = (90 - 1) \times 45 = 90 \times 45 - 1 \times 45 = 4050 - 45 = 4005$.

Vậy có 4005 số tự nhiên \(\overset{\overline}{a b c d}\) mà \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\).

Kiểm tra lại bằng cách khác:

Ta có \(a \in \left{\right. 1 , \ldots , 9 \left.\right}\), \(b , c , d \in \left{\right. 0 , \ldots , 9 \left.\right}\).

Điều kiện: $10a + b < 10c + d$.

Tổng số các số \(\overset{\overline}{a b c d}\) là $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$.

Xem xét tất cả các cặp \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) với \(\overset{\overline}{a b} \in \left{\right. 10 , \ldots , 99 \left.\right}\) và \(\overset{\overline}{c d} \in \left{\right. 00 , \ldots , 99 \left.\right}\).

Total number of pairs \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) is $90 \times 100 = 9000$.

We need to count pairs where \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\).

Consider the pairs \(\left(\right. X , Y \left.\right)\) where \(X , Y \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 99 \left.\right}\). There are $100 \times 100 = 10000\(s u c h p a i r s . N u m b e r o f p a i r s\)X < Y\(i s 4950. N u m b e r o f p a i r s\)X = Y\(i s 100. N u m b e r o f p a i r s\)X > Y$ is 4950.

Now, we impose the constraint that \(\overset{\overline}{a b}\) must be between 10 and 99.

This means \(X\) cannot be from 00 to 09.

Let \(S = \left{\right. \left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right) \mid 10 \leq \overset{\overline}{a b} \leq 99 , 0 \leq \overset{\overline}{c d} \leq 99 \left.\right}\). The size of \(S\) is $90 \times 100 = 9000\(. W e w a n t t o c o u n t t h e n u m b e r o f p a i r s i n\)S\(s u c h t h a t\)\overline{ab} < \overline{cd}$.

Let's consider the complementary cases within \(S\):

1. \(\overset{\overline}{a b} > \overset{\overline}{c d}\)
2. \(\overset{\overline}{a b} = \overset{\overline}{c d}\)

Case \(\overset{\overline}{a b} = \overset{\overline}{c d}\):

Since $10 \le \overline{ab} \le 99\(,\)\overline{cd}\(m u s t a l s o b e i n t h i s r a n g e . S o ,\)\overline{ab} = \overline{cd}\(c a n h a p p e n f o r\)\overline{ab} \in {10, 11, \dots, 99}$. There are 90 such cases.

Case \(\overset{\overline}{a b} > \overset{\overline}{c d}\):

We have $10 \le \overline{ab} \le 99 and \0 \le \overline{cd} \le 99$.

Consider all pairs \(\left(\right. X , Y \left.\right)\) with \(X , Y \in \left{\right. 0 , \ldots , 99 \left.\right}\). There are 4950 pairs with \(X > Y\).

We need to exclude pairs where \(X < 10\).

If \(X \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 9 \left.\right}\), then \(X\) cannot be \(\overset{\overline}{a b}\).

So, we need to exclude pairs \(\left(\right. X , Y \left.\right)\) where \(X \in \left{\right. 0 , \ldots , 9 \left.\right}\) and \(X > Y\).

If \(X = 0\), $0>Y\(i s i m p o s s i b l e . I f\)X=1, \1>Y\(m e a n s\)Y=0\(. P a i r i s \left(\right. 1 , 0 \left.\right) . I f\)X=2, \2>Y\(m e a n s\)Y \in {0, 1}\(. P a i r s a r e \left(\right. 2 , 0 \left.\right) , \left(\right. 2 , 1 \left.\right) . . . . I f\)X=9, \9>Y\(m e a n s\)Y \in {0, 1, \dots, 8}. Pairs are (9, 0), (9, 1), ..., (9, 8).
The number of such pairs is \0 + 1 + 2 + \dots + 9 = \frac{9 \times 10}{2} = 45$.

These 45 pairs are from the \(X > Y\) set, but \(X\) is not a valid \(\overset{\overline}{a b}\).

So, the number of pairs \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) with $10 \le \overline{ab} \le 99\(a n d\)\overline{ab} > \overline{cd} is \4950 - 45 = 4905$.

Now, we have:

Total pairs in \(S = 9000\).

Pairs with \(\overset{\overline}{a b} = \overset{\overline}{c d}\) is 90.

Pairs with \(\overset{\overline}{a b} > \overset{\overline}{c d}\) is 4905.

Pairs with \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\) = Total pairs - Pairs with \(\overset{\overline}{a b} = \overset{\overline}{c d}\) - Pairs with \(\overset{\overline}{a b} > \overset{\overline}{c d}\)

Pairs with \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\) = $9000 - 90 - 4905 = 9000 - 4995 = 4005$.

The two methods yield the same result.

Đáp án: 4005

ffgh

2